Родился в 1961 году в г. Лигатне, учился в Латвийской музыкальной академии им. Язепа Витола в Риге. Параллельно пел в Государственном академическом хоре «Латвия». С 1988 года – солист Латвийской национальной оперы, где дебютировал в заглавной партии в опере «Мефистофель» А. Бойто. Также работал во Франкфуртской опере (1990-1993), Базельской опере (1993-1996), Венской государственной опере и Венской народной опере (1996-2000), где затем выступал как приглашённый солист. Особую известность получило его исполнение партий Мефистофеля в «Фаусте» Гуно и Бориса Годунова в Венской народной опере. В качестве приглашённого солиста выступал в Баварской государственной опере, Гамбургской опере, Цюрихской опере, Парижской национальной опере, Королевском театре в Мадриде, театре «Лисеу» (Барселона) и в других престижных театрах мира.
На сцене Венской государственной оперы исполнял такие партии, как Мефистофель («Мефистофель» Бойто), Сильва («Эрнани»), Раймонд («Лючия ди Ламмермур»), Рудольф («Сомнамбула»), Эскамильо («Кармен»), Прочида («Сицилийская вечерня»).
В 1998 году дебютировал в театре Ла Скала в опере «Линда ди Шамуни» Доницетти (партия Префекта). В 2000 году состоялся дебют артиста на сцене нью-йоркской Метрополитен-оперы (партия дона Базилио в «Севильском цирюльнике»).
В 2011 году Силиньш дебютировал в Королевской опере Ковент-Гарден в заглавной партии в опере «Летучий Голландец». Также пел в этом театре партии Иоканаана («Саломея») и дона Фернандо («Фиделио»).
В 2018 году певец впервые выступил на Байрёйтском фестивале в опере «Лоэнгрин» (партия Герольда), став первым латвийским певцом, получившим приглашение на это мероприятие. В 2022 году также исполнял в Байрёйте партию Вотана («Золото Рейна»).
Вагнеровские роли составляют значительную часть обширного репертуара артиста: Голландец («Летучий Голландец»), Тельрамунд («Лоэнгрин»), Вотан («Кольцо Нибелунга»), Курвеналь («Тристан и Изольда»), Амфортас («Парсифаль»). Всего репертуар Силиньша насчитывает более 90 партий на немецком, итальянском, французском и русском языках.
В 2019 году был избран председателем правления Латвийской национальной оперы, солистом которой является более 30 лет.
